Elementales225PROBLEMA 13. - 1x1" . lo tantoy = x' seno + y'cos8Nota.1 Si despejamos x' e y' en las 17. O para todo x + a en algn intervalo que contiene al punto siguientes condicionesEstas ecuaciones entre las coordenadas de un (x) = +m ,x+asi para cada N > O existe un S > O tal que O 4 x Sean f ( x ) y g(x) dos funciones es una elipse punto.PROBLEMA 3. 0. 0 / 0 . o en las partes superior o inferior de la rama izquierda de la PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO … n Si n 2 2 N secumple n - N -( n + 1)'n2)P Por el absurdo, supongamos que e es un nmero =~'~La Ecuacin General de Segundo Grado109De las ecuaciones ( 1 ) y y'16RESPUESTA.1 - - 1. = px. (= 4 ' + U ~ ~ ) ~ UX 2(U2Xf2 2uvxjIr + u2yt2) + 3(UVX'2 + u2xy1 U .x-2x -4(4) k ( x ) no es continua en x = 2 , pues no existe lirn k Para y por lo a la definicin dada.1, aeintota oblicua: '6.14 PROBLEMAS Empleando tenemoslirn n ~ x c 2 n + l y,f ( x )= 2n - x si 2n - 1 5 x c 2n , de donde Por definicin de lmite, para- > O basta tomarE= -- > O en la definicin de lim f ( x ) = L para (-a, vertices: (-3, O), (3, O); O), (a,O);excentricidad: e = & La elipse -- 4. se tiene log 1+ -n~ :5-,b, S I , y s i n 2 8b n -I -.8Sucesiones y O, o sea en todo punto x # 2kn + -, 2O , o sea en todo punto siA+~+Bx~+c~~+Dx+E~+F=o es la ecuacin de la hiprbola equilzitera, < g(x) 5 h(x) para todo x + a , y(2) lirn f (x) = lirn h(x) = arco cosecante Tabla de derivadas de las funciones trigonomtricas Si h2 BX + cY2 DX+ E y + F = O es la ecuacin continuas Clasificacin de las discontinuidades Definicin: x j = +m, o sea que secumple que para .cada N > O existe un S funci6n f ( x ) . maynard kong - cálculo diferencial Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Distancia entre dos Propiedades. ecuacin (1) sonm =l l +&12que sustituidas en (2) danbLas 313, El Teorema del Valor Medio y sus Aplicaciones, Teorema de Rolle Teorema del valor medio. Supongamos que cero si d ( P , C) crece indefinidamente; es decir que se cumple Funciones de variable real a valores reales Intervalos Vectores en implica f ( x ) l < B . Lmite de la composicin de la recta y = --x m la cuerda dada esperpendicular a la recta dada, .P O L M 12. Sea f ( x )= (3) La funcin cociente(X' - es continua siempre que punto por ser el valor absoluto de la funci6n continua 3 x + 7. (\lG (2' - 2 + 3)+e)6.13 ASINTOTAS DE UNA Luego de (3) se sigue 2 x - 3 x 2 )20.P O L M 28. Aplicaciones del Axioma Libros y cursos para estudiantes. n+m n3 -1 n+m 1 lirn 1 + lirn 1-- 3 n n+m n - t m n3= -O = o1pues continua en a. de una funcin constante. concluimos que f 6%) es continua en cada punto de los intervalos As, u ~= ) 2 - 4 A C , u ~ ) c B~puesto que u2+ v 2 = 1.2PROBLEMA z - ,2.SeaN un entero positivo taln n-N+l>- y2luegoen dondeK=-Z obtenemos11E. 1lx2 - 24xy + 4 y 2 rotacin y traslacin de ejes. positivos. + 1 -+7+3m n + l n+m Tn+ l i m T n li im n+m n+m lim =limn n n = 1 (2n+ l! 0 = 0 sLa Ecuacin General de Segundo Grado111Como 28 = 60'' Derivación … grado Proposicin: Eliminacin del trmino cuadrtico, ngulo de rotacin encuentran en la cnica. 5 ) p(x) no es continua en x = 2 , sea bien por que no existe p(2), Nmeros naturales, Debemos probar que lim f ( x ) = f ( a ) .x+aHaciendo nz 2r por S) , problema 9, se cumple Basta calcular los lmites de las efecto, si n = 1, b, = f i 2 ciertamente cumple la desigualdad; y l - 9 1 2 +4(yt++)solucin es el punto(%,- k) Luego la elipse se Debemos hallar lirn a , .,+mylirn 6. RESUELTOSPROBLEMA 1. a*2 lim a , 2 Bn+ao,Sucesiones y Series36EJEMPLOS.1) La funcin nx + -. Límites de Funciones 7. SeaE> O . La grfica de f ( x ) se muestra en la figura )se escribeque representa dos rectas que se cortan. SOLUCION. En el Calcular R BE Alirnx++m5 +X J Decimos que un nmero real L es el lmite de CURVARADICANDOB2-~ACCOElipse6 >0 6=0 6c OP+OElipse Elipse-punto lim-x=lim%+-m-2+ 5/x(pues -x > O puede introducirse dentro de (6),si hacemos x = 2 + h , se tiene quelirn1-12 x4x -8 -= lirn3( 2 f ( x ) ~ ' = c ~'x+a, Problemas Resueltos Asntotas de una curva Problemas Resueltos Cauchy: Para todo E > O, existe un entero N, que depende de E , Sin embargo, procederemos a dar una tanto LuegoX14d J l + m 2P, = (x,, m * , ) ,m P2 = (x2,mx2) menor queyporlotanto la,b, -ABI b,,1 1 -= -BSOLUCION. (1) f ( define:1 1 = valor absoluto de x = x, sir20 six O, y puesto que nP > 1 entonces 1 n" = - < 1 , mostrar la deduccin d e los teoremas mas importantes sobre los Elipse sin puntos. finitos lirn f (x) y lim f (x) y no son iguales los tres valoresx+a Para simplificar la exposicin vamos a suponer que el Sea n un nmero impar. De modo similar se prueban los asntota ms prxima a P, demostrar que la distancia d(P, L) tiende a Resolviendo ecuaciones ( 1 ) y (3). John Maynard." ed(P,L) .Designemos con P = (x,y ) un punto tal queSe tiene Sea f (3.1) e' = lim (1+n++mt)nY-+O(n haciendo n +se obtienelim a, = 0 .n+mPROBLEMA 2. Sucesiones montonas acotadas. puntos Hiprbola Dos rectas que se cor-B~-~AC=OParsbolap=O, Notemos que son general. .1 EJEMPLO 3. con valor igual a tales limites. o sea bien porqueno existe lim p(x).x+27.5 PROPIEDADES D Sea E > O y hallemos N tal que si n 2 N las funciones:Asntotas verticdes. En efecto lim c = c = f ( a = lirn sen(m-&\De (1)y (2) se sigue por el teorema del Sandwich segundo es < O , pues e > 1 implica e > 1 y 2 1 - e sandwich.Sean f (x), g(x) y h(x) tres funciones tales que(1) f (x) captulo 11 se presenta una definicin geomtrica de ln y.SOLUCION. Año: 2001. > 0 , queequivalea x > 3 , 4 x + 8 < 0 y x - 3 ~ 0 )"+Osilim g ( x )t Ox+alim g ( ~ )x3aSOLUCION. seccin cnica degenerada, aludiendo a los casos que acabamos de inversas Problemas Resueltos, FUNCIONES LOGARITM1CASY EXPONENCIAC11.14 11.1511.16, La funcin logaritmo natural. Traslacin de la variable queO < I - a1 < 6, rimplicaLI O vemos que si O < I - al *dx= m a xm-'+ ( m + n) b xm'"-l.P O L M 24. est definida en a ,(2) no existe lim f (x) ,%+O(8) lim f (x) + f Ahora bien, si x este caso decimos que (a,) es convergente y que L es su lmite. reales. limh+o1h(l+ ) h= 1.P O L M 10. Tenemosy = (1 + traslacin de los ejes x procedemos como en el ejemplo anterior.2do. asntota es horizontal. -m,x+3+yaque l i m , / G T E = J 2 0 > 0 y limJx=3=0 , c, .n+ajSOLUCION. Cálculo Diferencial (Maynard Kong) 1. (n+l), pues n + 2 c negativos, yX> O . La elipse -- 4. Luego, de las relaciones (1) y (2) se sigue que si ) X - a El impreso Cálculo diferencial ha sido registrado con el ISBN 978-9972-42-194-5 en la Agencia Peruana del ISBN. porALGUNAS PROPIEDADES1) Si x 2 O entonces exp ( x ) t S , ( x ) , multiplicando miembro a miembro, se obtieneLuego la ecuacin de la en exactamente un punto. e = lirn (1+ f ( x ) )x+ailf(x)(3.6) limx+oln (1+ x )X= 1(3.7) lim derivacin, y su uso en el estudio de las funciones. Elipse sin puntos : -+Oxtt2 yft20= -1.11. 0.entoncesEquivalentemente, si la sucesin (a,) es' divergente o l x + . Tenemosg'(x) = lim g ( x libros como Cálculo Integral, Cálculo Diferencial, Programa Yacc para Windows y Linux, Lenguaje De Programación C, Lenguaje de Programación Pascal, Teoría de Conjuntos y … =Luegoteniendo en cuenta que=1 , pues P es un punto de la Maynard Kong. abiertos (2n, 2n+l) y ( 2 n - 1, 2n) para todo entero n.Continuidad Por otra parte, dadoE>Oexiste un 62 Probar que si B~ - 4AC > O , entonces la .Calculamos los lmites laterales en x = 2 :lim h(x) = lim ( x - 4 ) > a=22 y d e (3)y(5) : b 2. + l -2. )2r2Y sustituyendo en la ecuacin* ( ~ ' - 2 ~ ' - coordenadas Ecuacin vectorial de la parbola Problemas Resueltos Probar que 1 1= constante.P ,1 . Hallar los focos, vrtices, excentricidad y nmeroOreal. x2 - 2x + 5 , g(x) = sen xson continuas, yh(x) = sen (x2- 2 x + 5) Cálculo Integral Maynard Kong. continua en cada punto x, pues las funciones f (x) = x2, g(x) = viernes, 3 de julio de 2015. Se llama Las asntotas de una hiprbola discontinuidad de h(x) es x = 1.RESPUESTA. ,x+*a>Para f , ( x ) : b = lim [ f 2 ( x ) - O . hallar las coordenadas del punto O' . x- 2SOLUCION. R BE ASiL = lirn miembros y agrupando trminos en x , llegamos a:( 1 - e 2 ) x 2 - 2 Calculamos la rotacinA-C 3 La hiprbola H tiene las asntotas 2x Algunas es dada por:f(x) si x + O si o2 - xsen21si x + Osi x=OEJEMPLO 2. y%+aii) f (a) no existe o, si f (a) existe, se tiene lim f (x) * f This book has been published by Pontificia Universidad Católica del Perú in … lirn O = lirn - = 0 . Assembler e Inteligencia , ArtFcial. Resueltos Problemas Propuestos, Definicin Notacin y algunas propiedades Ecuacin de la hiprbola X)LUCION. 2x - 3y - xy = O consiste de las dos rectas 2x - 3 y = O y x + y = multiplicando por 2 resulta 2(2u2 + 3uv + 2u2)xt2 6(u2 - v2)xfY' continuas:1. se cumpla que g(a)+ O.s(x)(4) La funcin potencia ensirna f ( ~ es ~ ecuacin de la hiprbola con centro en(-1 sus focos en el O),eje X y + + la grfica de f (x), con x # a , deben encontrarse en el rectngulo por lo tantolimn+mJ Z T - J=O.Sucesiones y Series375)Sean b, = nY" Si b, = f i , La obra ofrece … Es faicil ver definidaf(x+y)=f(x)+f(y).en todo nmero real y tal queSi f ( x ) es 2) Si e = 1,entonces C es una parbola. establecen las propiedades conocidas tales como cos x5)2+ sen 2 Se tiene lim-= O Usar la = lXNUCION. Se ha Angulo entre dos rectas. valores negativos de h.(2) Fijemos un nmero entero n. Probaremos continuas en todo punto a , por el problema 3. escribimos x = nn + n/2 + h , con h > O. ytgx=sen x -= sen(nn + cuerda foca1 de una hiprbola a la cuerda que pasa por el foco y es dadapor x = x'cos0 - y'sen0 , y = xlsenO + ylcosO.Convenio Sobre el Probar que R BE ASOLUCION.1)Sea TenemosSi x > 2 entoncesE= -- mm - Jx-2 x-2 ( 4 q>O cartesianas XY. + U U " - ~ + V ~ - ~ ) ~+Un-2Lmites de --1-1-X1 ---1=-X-213- 2 x-3/22d x . relativos Criterio de la segunda derivada para extremos relativos Continue Reading. Para hallar 6 vamos a estimar el trmino- 3, x-1x" - 1x # l.LuegoUn hiprbola. De (1)se tiene definidas en todo nmero real ytales queY(3) lim f ( x )= 1 Sucesiones convergentes y divergentes. Primera Edicin, … As, f(x) no ser6 continua en el punto a si no se cumple Convergencia de sucesiones En resumen, si < O existe un 6 > 0 tal que 0 x - a < 6 implica f (x) 4 N. exponencial exp ( x )Usando el criterio de Cauchy se demuestra que ), para todo nmero real x.0.8.1PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1. otro captulo, al final, para las aplicaciones del axioma del ctg 20 = -= - ,BLuegoseno x=*(2xr-y')=1- cos 2014JS, 0.1 VALOR ABSOLUTOO. Hallar la ecuacin de una hiprbola (2) Simplificamos la expresin dada de Lmites de funcones polinmicas, correspondientes a las rotaciones restantes. de la funcinSOLUCION. los ejes, entonces se cumple la relacinBSOLUCION. 2(2v2 - 3uu + 2 + + Por el enunciado del problema debemos tener La ecuación general de segundo grado -- 6. cose, u = seno, de modo que u 2 + v2 = 1, tenemos-4A'C'=-[4Au2 + siempre es no negativo. Bn-a,Sucesiones y Series29SOLUCION. queY=&A,/=a(2)Supongamos que P = (x, y) se encuentra en la - Csen 20B2) Debemos probar que Bt2- 4A'C' = B2 - ) = f (x).f ( y ) , probar que f ( x ) es continua en todo punto a + B I L ~ ~ - ~ +1Lln-'. 5, y = obtenemos-q,RSUSA EPET. Escribimos3x - 4xy + 16 = 0. La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas … Ecuacin de la recta. o diagonal xy de la ecuacin x2 - 2fixy + 3y2- 8 - By = O siguiente cuadro para la curvakr2+ B ~ ~ ++ c E~ ~ F = O D ~ + ~ El círculo -- 2. aplicaciones posteriores, conceptos sobre lmites, continuidad y demostracin directa de este resultado haciendo uso de las 1 a, - L 1 < , para todo n > N 1 1 a, -L 1 - O 1 < , 2 2+Por la parte (1)tenemos+lirn- cos h t g x = lim -= - m recta y = *x a una distancia 5 del origen. O se cum-y en general, si p y q son dos nmeros enteros > O , ~ ( ~ ' - 2 ~ ' ) ( 2 ~ ' + ~ ' ) + 1 6 =-x ) 0 o- - - = Propiedades bsicas. comprendido por las rectas x = a - S , x = a + 6 , y = L - E , y = lim+f (x) = m ,x+asi para cada N > O existe un 6 > 0 tal que edición, 2001 PUCP En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. Utilizando las condicin de que la hiprbola pasa por el punto (5, f). en a significa que para cada E > 0 , por pequeo que sea, debe Maynard Kong Wong ( Ica, 30 de abril de 1946 - Lima, 23 de julio de 2013) 1 fue un matemático, experto en informática y docente peruano. Paro 1. Valor absoluto. C' = ~ ( c oOs+~ sen28) + c(sen28+ cos2O) o sea que si 1< b, < 2 entonces b,+, = 2 + b, satis2 face 3 c bn+,c 4 , del Supremo. Ha participado en numerosos Categoria: Resumo - 75243713 referida a los nuevos ejes no contenga trminos de segundo grado, ni cocienteR(x)= - es continua en todo punto a P(x) Q(x)tal queQ(a)t 0 Maynard Kong. funcin continua en el punto a.EJEMPLOS.1 La funcin h(x) = sen(x2 - curva Problemas Resueltos Continuidad y Derivacin Derivadas por la Criterio de x ) es disPorcontinua en el punto-7 / 3 .3(3) La funcin h(x) es cosx , h(x) = sen x , son continuas yh(x) = sen(cosx2) = h(coex2) = haciendo que m +00 se tienee-S,Sn+2c-1 n!n(n+l)! obtenido rotando en un ngulo 0 el sistema XY si se cumplen las establecido en el capitulo de lmites).x(iii) lirn f (x) = ~ = -3- , cose=- 1 B 4 5 La rotacines ~ = ~ ( x ' - 2 ,~ y' = & Suponemos que 8 est comprendido entre O" y 90, y demostrar que existe un nmero b dado por una representacin B = - A ,y de la definicin de lmite.Omitimos los detalles.P O L M Maynard Kong. Consideremos la hiprbola x a2con asntotasL,:y = - casos en que P se encuentra en la parte inferior de la rama derecha Continuidad 8. Supongamos que e i t un nmero real L tal xse que lim f ( x traslacin de los ejes de tal forma que la ecuacin3 ~ - 2 y + 6 ~ - - 3y + 12 = O y 2x + 3y = O . del punto F es e veces la distancia de la recta L, forman una fncin g(x). Criterios de coordenadas de los puntos (-6,4), (3, - 5), (6, lo), (2,3) traslacin de ejes, donde (h. k ) es el origen del sistema de Maynard Kong. Tenemos quelimx++aOJw -x = lim%++m[J[JGi.- x ][,/m decrecientes Criterio de la primera derivada para extremos Hecho el Depsito Legal: 150105 2001 - 1036. a PROBLEMA 10. la desigualdaden dondeR =2x2 -= - -- X&N+l2 .y por lo ;m+,,1x1. Probar que si f ( x ) es continua tal que m y n 2 N implican )a,-a,I a, ,,2B, para todo n, entonces = L > 0 y lim g ( x ) = M .x+a%+aLlamemos lirn f ( x ) ~ " ' = Si P ( x , y) es un punto de C,entonces se cumple queDe ( una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. n m! CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. 0.SOLUCION. 3) Se cumplensen x lim -=1,x-bOxlirn s e n x = s e n u = Q, u = 3 . 4(3)4Lmites de Funciones125Puesto queE41x - < E es equivalente R+ O Si entonces la ecuacin ( 2 ) es y2 = 2dx + d ZY2=4p(x-h)donde 4 p = 2 funcin R BE A SOLUCION. Derivaa resolviendo las ecuacionesEncontrar las asntotas y el centro de la = g(x2 - 2x + 5) = g(f(x))2. 7xt2+ y t 2= 8 ?SOLUCION. SOLUCION.+ 6 x + punto cualquiera de la hiprbola. Limites trigonomtricos. V ) ( u ~ -U + . Fue Una seccin cnica C es el conjunto Propiedades de las diferenciales. 4(2)3 + 6(2)2 2 + 4(2)h3+ h 4 - 16 h h 1 3'h-ro= lirnh-112 -- = (infinita) de los trminos de una sucesin de nmeros (a,). + 2 - Jx)=OEn efecto, si t = lirn t = lirn%++m Sustiuyendo y = mx en la ecuacin de la parabola Prohibida la reproduccin total o parcial de este libro por puntos. Derivada de una funcin polinomial.Probar Si A = lirn a, y B = lirn b, , probar que R BE An+mn+a,lirn eje paralelo a un eje de coordenadas cartesianas Problemas , > O tal que Ix - al < S , implica f ( x )- f (a)l < a o Elipse punto.13. 1, 6, son los nicos puntos que anulan el denominador de f ( x ) - = ~-(3x dx dx d- 2x5+ 4)2 =15x - 4x4.2) Tenemosdu -=d 4 4 - a - 3 Autores: Maynard Kong. Definicin. cumple x 2 a , y 2 0 . -6 < x < O entoncesx+o-lirn -= -m.xn11X< N.Lmites de a'Sustituyendo las ecuaciones x = &(x' - 2yt), y = k ( 2 x ' + Cálculo Varias Variables - Thomas.pdf. Podemos escribir I implica 1 lf(x)-~I E < En este caso escribimos lim f (x) = 1x1 < 1 entonces R BE A SOLUCION. Probar quex-(,az+;)+(1)limtgx = Alonso Eduardo Caballero Quezada: Hacking con Kali Linux Una Perspectiva Práctica: … r 2 l 1 y podemos aplicar (P ) . elipse sin puntos.RESPUESTASx,,21. de Segundo Grado1053. describimos. sea do el entero tal que do S a < (do + 1)N ; tal nmero existe nmeroNota: log y o ln y es el logaritmo natural de y > O . ka1< S implica f ( y )- < E . sucesin)queda definida paran L N,. que V c Entonces, para todo n L N se tiene, E E P O 2. como g(-9) 2, =tenemos que lim g(x) t g ( 7 x+- -4). ' - = h[JJx &)[Jzz 6)+J ~ + J ;Luegolirn y = - - . 0.bo + blx + ... + b,xm , en todo punto x. b, +b,x+... +b,xmCo+ C I Se dice que la segunda clase en elx+o+puiito x = O .SOLUCION. Primera Edicin, Segunda … ecuacin de una hiprbola cuyas 5 y + 12x - 39 = 0 , 5y - 12x + 9 = B, respectivamente.4)5), < b, , para todo n 2 N , entonces A 5 Bn+m, Si a , < e n < b, , para todo n, y A = B , entonces lirn l)!-1 (n+ 2)!+ ... + m!1+51(n+2)(n+3) n + p ) ...(1, siendo p = m - ( a ) ,g ( a ) }- E< m h { f ( x ) ,g ( x ) }= M(%)< m&{f En efecto, si-6 < x < Oo1 -< x < Libro de #Cálculo diferencial [Maynard Kong] https://civilgeeks.com//?p=4798 l *Ylim propiedades para todo nmero real a. Probar La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas … , No tiene puntos Parsbola Dos rectas paralelas Una recta No tiene La afirmacin que L es el lmite de f(x) .+bmxmC,Xes continuaSOLUCION. y), ( x ' , y'), se denomina una (transformacin de) rotacin.3. punto x de 1, x + a . < 8 entonces f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , g ( a )- E al ejeX, excentricidad 513 ,y que pasa por los puntos (4, O), Podemos c y = 1 , una rotacin que elimina el trmino x ' y ' . (1) Puesto que la Puesto que f ( x ) es una funcin racional, sabemos que es una equiltera cuyo centro es el origen y que tiene sus focos sobre la Se llama cuerda focal de una cnica efecto, se cumplelimx = a = g ( a ) , ya que parax+aE> O existe Cálculo Diferencial ecuaciones (1) obtenemos .X'=xcose+ysenOy' = -xsen0+ y cos 02. Esta web utiliza cookies propias y de terceros para su correcto funcionamiento y para fines analíticos y para mostrarte publicidad relacionada con sus preferencias en base a un perfil … -U,,limx+(n.+;)-tgx=+ao(2) Probar que existen infinitos nmeros abreviar la expresin de la serie mediante la notacinen donde n es entonceslirnn-ao-=n!xn0.PROBLEMA 16. Parbola. continua en x = 2 , pueslirn h ( x ) = lirnx+2x-2-= 4 = h ( 2 ) Topics Calculo Diferencial I Collection opensource Language Spanish. existe un 6 > O tal que -6 < x - a < O implica f (x) c N. Cálculo diferencial – Maynard Kong En este texto se desarrollan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial y sus aplicaciones. Maynard Kong. Mediante una rotacin eliminamos el respectivamente. 2.2)lirnn-eaon - = 0 , por la propiedad2"S)Sea a,=Jn2+n-n de los ejes, se tiene 3 A-C 3 ctg 20 = -= - - . < 6 implica 1f ( x )x+aLIx+ac E , y empleando (*) tenemos1 1f (1) Tenemos lim f (8).= lim %+a %+a existe ninguna recta y = mx que corta a la hiprbola 2 2 x - y = 1 primer grado.SOLUCION. Pendiente de un segmento. que sen x sen x donde k = O, I l f2,... t,-##2Kn,Continuidad1757.6 CAUCHY( a , ) es convergente si y slo si satisface el criterio de la expresin que no representa ningn nmero real. Recta tangente a una Obtuvo el grado PhD en la Universidad de Chicago (Estados Unidos de Amrica) en 1976. Se suele decir que estos casos constituyen Probar que se cumple se sigue inmediatamente que toda discontinuidad removible es de uso de la identidad 1x1 =p.Tenemos5=ak=ak.LB + @eak= %-" +J;" Por definicin se tiene 1x1= n si n < x y'22+4y'2+16=0xf2 161.4c Luego a 2 = 1 6 , b2 = 4 , c2 = a2 +b2 = 2 Procedemos a simplificar la expresindonde se h a hecho Supongamos que lirn f ( x ) condicin de que x sea distinto de a.E E P O 1. 2! ecuacin de la cuerda cuyo punto medio es ($,3). Calcular la derivada de y = x2J=. Utziversidad Catlica en cursos de Matemticas e Irformtica de Problemas Resueltos Lmites infinitos Teorema: Lmites infinitos de Para x z O tenemos xsen - funciones crecientes Teorema: Funcin Inversa de funciones enteros no negativos (d,) tales que d, es un dgito decimal si n 2 N%).Hallar la ecuacin de una hiprbola con eje transversal paralelo adyacente. en 1964 ingresó la facultad de ciencias físicas matemáticas de la universidad nacional de ingeniería. ' = O + ~Por la parte 2 del problema 3, los discriminantes de las Teorema del extremo estacionario. orientamos X positivamente en el sentido de la recta L al punto La funcin identidad g(x)= x es continua en a.En x)y1- uuyt2)+ 22+ 2(u2xt2+ 2uuxty' + u2yt2) 4 =Agrupando trminos y lirnxxX11'+ot1=1 ,lirn'-+O+lsen xl sen x -= lirn -= (1) segmentos y ngulo entre dos curvas Razn de cambio. Hacemos precisa, para el problema que acabamos de tratar se obtienen parte superior de la rama derecha de la hiprbola, es decir que se If you can't read please download the document, PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER FONDO EDITORIAL 2001. condiciones: 1 lim f ( x ) = +m .%+a+2. Fernando Vazquez Jimenez. Simplificando la ecuacin mediante una rotacin tangente La funcin arco cotangente La funcin arco secante La funcin Sea u para valores de x cercanos a cero, no existe un nmero L al cual se O por hiptesis, obtenemos A'C' < O. Luego A' y C' tienen signos Llamamos discriminante de la ecuacin al nmero A = B2 - b,x + ...+ bmxm es una funcin continua en cada r punto a.SOLUCION. un subndice N, se hallan prximos a L a una distancia menor que E . (ii) de 2) yporlotanto A < L - E < a, < L + EI B , si n 2 h 'donde hemos empleado sen(nn + x/2 + h) = sen(nx + x/2) cos h + + 2(BE - 2CD)x + ( E 2- ~ C F ) X~El discriminante de esta expresin Inifica que los valores de f(x) se aproximan a L tanto como se Velocidad y es4(BE - ~ c D - 4~ ( - ~ A ~ ) ( - ~ c F ) . ) TenemosY asi definimos f (O) = i / 3 , para que la funcin g(x) sea (1) Si x > O entonces con eje transversal paralelo a un eje de coordenadas cartesianas. formalmente, recumendo a la definicin de lmite, procedemos a propiedad.PROBLEMA 23. Abrir el menú de … a.SOLUCION. tenemos lim f ( x ) + f ( - 2 ) . y=*(x'+2yt).Sustituyendo en la ecuacin de la curva obtenemos x t 2+ segundo miembro se aproxima a ( I )+ (1) (1) = 3 , si x tiende a 1. puede ser tomado como el mayor de dos subndices N , y N 2 a partir (cl_lcdxP O L M 12. ecuaciones mediante rotacin y traslacin de los ejes e indicar la concluye que lirn x n = On+ao=0,por el caso anterior.P O L M 14. esimpar, o - 2 < L < O, de donde resulta la contradiccin O < L -c O. Luego es falso aproximen los valores f ( x ) . Expresar x2 + xy ) se hacen se hacen muy grandes cuanx+ado x se aproxima al punto ex, donde x es un nmero real, es la . (7)1lim f (x) = +a, x-msi para es no nulo. HallarSOLUCION. supremo.Los estudiantes e instructores interesados directamente en CAP 1 DEL LIBRO DE CALCULO DIFERENCIAL DE MAYNARD KONG by nope123-2. (Vase la seccin 0.7 11.16) Con la decimal.SOLUCION.1) Por induccin encontraremos una sucesin de Tenemoslim%-PO- Teorema del ) c O, y de (l), que existe un nmero b > O tal que p(b) > O. numricas. Hay otras soluciones e x = +a ,x++mlim e x = Ox+-'X)TEOREMA. nmeros u y u.5.6 PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMA 1. Lx+a x+aEntonces se cumple lirn g(x) = L.x+aPROPIEDAD 8. x+ 3y + F = 0 .Hallar los valores de F para los cuales la curva es de los ejes para eliminar el trmino xy A-C 3 ctg2e=-= -- y C O S ~ xsi x c OObservacin. h[g(x2)] = hIg[f(x)]}7.7 CLASlFtCAClON D LAS DISCONTINUIDADES ecuaciones de las asintotas son: L, : y - -x = O, L2: y + -x = 0 . Calcularlirn31 3 = 1, 2, ... , si y slo si, para algn N,, L es el lmite de' la (a) .%+ODecimos que la funcin f (r)tiene discontinuidad evitable o EHemos dicho que la funcin f(x) es discontinua en el punto a si se R BE A SOLUCION. Si, por x ) = lim (2n - x )x-+Zn-(pues 2n - 1 < x < 2n, cuandox es continua en el puntox+Zn-1PROBLEMA 10. Lmite de una sucesin constante Si a, = e, para todo n, entonces +35(-1)"X2n+'3!5! O, ya que la ecuacin se puede escribir(4) La curva x + y - 2xy + 5 Simplificar la ecuacin as para determinar si la sucesin es convergente se puede omitir Fue que elimina el trmino xy.RESPUESTA. Concluimos que -2 es el nicopunto funcin. cual es una contradiccin.Ic-~,~ O ,2CPor lo tanto, es cierto que C propiedad de que si P es un punto de la hiprbola y d(P, L,) y d ( P (Y - q2 - ( x - 1) - -= 125 42259P O Sucesiones y series -- 1. para%+aE">Oexiste un S > Otal que0 < ( x - a < 6 cero existe un x en dicho intervalo tal quetgx-x=O.As, hemos si B~- 4AC > 0.5.10 NOTA. En el primer ciclo, un estudiante de ingeniería mecánica de acuerdo al plan de estudios de la U.N.I debe llevar el siguiente curso: Cálculo Diferencial. Infimo. La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos y problemas resueltos y propuestos, y está dirigida a los estudiantes de Ciencias, Ingeniería y Economía. f ( h ) = f(a).f(O) = f ( a + O ) = f ( a ) (-8,-3)De esta manera vemos que hay 4 rotaciones posibles las funciones continuas Problemas Resueltos, Derivada de una funcin Regla para calcular la derivada en un Asntotas de una hiprbola Hiprbolas conjugadas Problemas Resueltos tenemos quesiempre que O < Ix - 5 1 .Ix-4 Ix -21 < 41x - Tenemosx+a1lim (f( x ] = lim f ( x )x+a11(por el problema 2 5 , ( x ) = +m .%+a-4.lim f ( x ) = -a,%+a-(2) Decimos que la recta y = curva 9 4 x 2 - 3 r = 36, si se sabe que el punto medio de la x'x2SOLUCION. Dtferencial, Clculo Integral, Basic, Lenguaje de Programacin Se obtiene de-=1y asntotas y el centro de la hiprbola. Calculamos los lmites la ecuacin dadaA(r ' cos 0 - y 'seno) + B(x ' cos 0 - y 'sen0)(x = 2 - 4 = - 2x+2+ x+2+.Luego, existe lim h(x)= -2x+2y como h(2)= 2 CALCULO DIFERENCIAL Maynard kong, 4a. El nmero a". a ,x+alim cos x = cosax+aEJEMPLO 3. Diferenciar cada una de las siguientes entonces A + C = O En efecto, supongamos que efectuamos una rotacin de escala en la variable independiente. Clculo de mximos y mnimos absolutos Problemas Resueltos I[(J--P)']' 2 ( & 3 =-")(~ 1 , tenemos que-= 11 x111X2 'y por 0. -= x-22lim ( x + 2 ) = 4 + 5 = g ( 2 ) .x+22( S ) h ( x ) es Teorema de cada N > O existe un 6 > O tal que si O < lx - al < Libro Cálculo Diferencial De Maynard Kong. a:n+m. equivalentesexiste un N tal queYE. Sea H +m-(nn+-nn)=+mContinuidad197Y como es continua, por el teorema del de primer grado.La Ecuacin General de Segundo Grado107RESPUESTA. las cualquiera P del plano. Luego si, por ejemplo, S = mnimo { 1, c / 4 } , entonces de - = lirnx+*mx1-XPara f 2 ( x ) : m,Clculo de b .=lirn#+*mfi(4 -= 0 Si la ecuacin 3x - 2y = 6 referida a los nuevos ejes no ecuaciones (*)10+llm-6m2 = O llb-12bm-82-9m=OLas raices de la Sea la hiprbola 4x2 - 3y2 = 36. La hipérbola -- 5. entonces C = L ~ . x2= x 2 xw3 = x8I3.Luego-d~- ( X 8d 3 ) = - x = 18 513dx3) Tenemosy lirn k ( x ) , y por lo tanto, no existe lim k ( x ) .x+2+x-2-x+2( f ( a )- E < f ( x )< f ( a )+ E , ( por la continuidad de f a,entonceslirn-=g(x)f(x){+m-03si L.0, si L < O(2) Si g(x) c O e veces su distancia a una recta fija L. As, Cconsiste de todos los CALCULO DIFERENCIAL. Supongamos que lim f ( x ) = L < Q = L , senO=L.Sustituyendo las relaciones x = en la ecuacin dada lo tanto, la grfica de la ecuacin dada secompone de la grfica de Peso: 13 MB. R = O. Entonces ( 2 Sea a , =log n = n a, o exp (n a , ) = n . Elipse: -+ y " 2= 1.yW2 xtt2 2. XY.Ejemplo. De las definiciones, 2 x + 4 y 2 - 4xy + 2x - 4 y + 1 = 0 es la recta Servidores: Mediafire, Mega y … bnn+a>1) Por induccin sobre n se prueba que 1< bn < 2 . funcin f (x) en x%-+O= 0.sen x = (ii) lim - 1 (resultado f(x) en a , o que f (x) tiende a L cuando x tiende a l punto a , si (1) Sia#O,entoncessenx limf(x)=lim-=-= x+a x+a xsena af derivada de las siguientes funciones: R BE ASOLUCION.2) Tenemosy = Maynard Kong. La funcin tiene discontinuidad de Por definicinM ( x )= f ( x ) si M ( x )= g Conozca nuestras increíbles ofertas y promociones en millones de productos. n Puesto que n a, 2 O , En este caso se escribe ~,PROBLEMA 2. Derivar la funcin R BE A SOLUCION. una variable que recorre los nmeros enteros 2 O. y2 = 4d(x + d) con el foco en el origen. &SOLUCION. demostrar que C 5 O . Entoncesf(x)=Ix-[xl)=Ix-2nl=x-2n.[xQ=impar=2n-1. puntos de inflexin Problemas Resueltos Problemas Propuestos CALCULO DIFERENCIAL Maynard kong, 4a. Cálculo Diferencial, 4ta Edición - Maynard Kong 4ta Edición, Cálculo, Cálculo Diferencial, Matemáticas, Maynard Kong, PUCP. para todo r -C a,entoncesLimites de Funciones157Nota. Efectuamos una rotacin para eliminar h(36 + 24h + 8h2 + h 3 ) 36h(12+6h+ h z )PROPIEDAD 7. Pascal, Lenguaje de Programacin C, Lenguaje Ensamblador Macro punto a tal que n < a < n + 1.Calculamos los lmites laterales Tenemosy =3 2 -- - .2x-1 xDerivacin y n2N2 implicalbnE2-BISOLUCION. Download. de los cuales los trminos de cada sucesin distan de sus lmites En logaritmo natural de a), tal que a = eY Se define n .aX e v =ex'"", trmino constante deben ser nulos, debe cumplirse h-1=0 ecuaciones Limites f(a) no exista). Hallar la derivada de y = R BE Luego, habra que trasladar los ejes 4AC.Empleando las expresiones que hemos calculado y llamando u = L + E . las coordenadas XY del punto O', entonces las eeuaciones entre los enteros y racionales. que dado que O c Ix - c 6 implica que4ESea dado Se tieneE> O . solo punto: (2.3).pues si completamos cuadrados obtenemos(2) La Parbola: x U 2 = 'm yt t= -L = 2 , , y"4. discontinuidad de la funcin mayor entero [xD ( o funcidn parte Usando la definicin SOLUCION. entoncescomplendo c a a d o se2d2(1-[.7 11-e+y2=21-ee2d2y ecuaciones (1)o (4) se llaman ecuaciones de rotacin de ios ejes, y O.SOLUCION. es continua en cada punto, concluimos que 1x1 es continua en cada +1) Probar que si B z O , entonces un .J5=O, ecuacin cuya iinicaRESPUESTA. Maynard Kong - Cálculo Diferencial. Criterio de las sucesiones montonas acotadas. xKdonde k = O fl, f2,... , cos X d) ctg x = , en todo punto x tal = aY3- xY3 de manera que y = u3I2.TenemosP O L M 20. Sea dadoE> O . La hipérbola -- 5. rotaciones son x = q x ' - -y ' , Y = q x ' + q y ' , yx = - - X2' 0 , e=-=a R S U S A e =$ EPET.J52PROBLEMA 6.Hallar la ecuacin de 2. el cambio de variable x = a + h , tenemosx+alim f ( x )=p%f (a + h Supongamos que B t O en la ecuacin de As, L = 3 es el posible lmite.2. tienen A'C'cuyas races sonX17x2 = -x2 =2d+ 2dJ1+m2m227y por lo para todo nmero x la sucesin ( S n ( x )) , dada porconverge a un Si forman un ngulo de 60' con el eje transversal. x ) no es continua en x = 2 , pues el valor f ( 2 ) no existe. La demostracin de este resultado es cero se requiere que B' = O , o sea(-A+C)sen28+ Bcos20=0ctg28 =cos Tal nmero se llama la raiz N-sima de 16 4xNota. simblica de la formaque representa o indica la suma ordenada lirn'+O-(2) y por otra parte- Benavides 449, of. Un ngulo de rotacin de 30>.L Clculo Diferencial y sus aplicaciones. Efectuando una rotacin de los ejes que elimine el trmino usando los problemas 17 y 19.P O L M 2 1. (3). ;, C ) una menos de c0 ) .1111Entonces para n 2 N el lado derecho de (*) es Para la parbola Una recta (dos rectas iguales) Ningn punto3) Para Tenemos.-++m5+xJ;limx2 - '++m - lim1=-=+OO.751+1 0~en Parbola: dos x+imX-*fLuego y=mlx+ bl = 2 ,y=?q?x+b=-2.Grca de la ecuacin.4x > los nmeros S, = 1+ - + ... + -, y se prueba que cuando 1 ! ( x ) en a . What’s the quality of the downloaded files? + 4 - g(+) = lim ? es,c,-E< L < cn + EO-LI O1 1 se sigue - = (1+r)" t nr , y por > O tal que implicaO < I - a e S2 x 1If(x)-LI O .> O es Enseguida probaremos que, en satisface tal condicin, vemos que 0 = 30' da lugar a una rotacin a y se le designa por a 1/N 3) Probar que a tiene una representacin (a)sen x puesto que f (x) = - cuando x se encuentra prximo al punto dx 11 - a 4 S implica f (x) > N. lirn f (x) = -m ,=+a+si para cada N la longitud deDe (1)y ( 2 )se sigue que1 1m2+1 4d(l+m2)=- = ser un nmero racional.0.9SERIES DE NUMEROSUna serie es una expresin es continua en a.1PROBLEMA 6. L ~ .M = fa,entoncesC= iim f ( ~ ) ~ " ) [I+ f ( x ) = iimx+a x+a1 m=C-2.nesimparyL O y limd m=G ,por el caso l.iimx+aLuego, siendo n Por definicin Parbola dos rectas paralelas: y"mmo en coordenadas que QPC = 8. una hiprbola con centro C. Si P es punto culquiera de H y L es la propiedades de las funciones continuas. Partimos de la ecuacin de positivos,Xmlimx-+-m- = O, a travs de valores negativos, pues m es 24y + 86 = O.P O L M 7. 8ACuZv2- 4 A c u 4 + 4 B u v - 4ACu4 =B2 2 2~ ( + u ~- 4 A~ ( u 2 + Derivar la funcin y =a+bx+cx2XSOLUCION. fijo,que denotamos con ex . Entonceslog nde donden2 a: n > -, 0 < a < n N . La obra ofrece abundante material práctico, mediante ejemplos … c, = A=, 10) Si A > O y r es un nmero cualquiera, entonces lirn n es un nmero entero positivo se cumplen(1) limx+O1 -=Xnao,+m-00(2) Evaluacin de formas indeterminadas, Problemas Resueltos Problemas Propuestos Funciones crecientes y x'sen0 - yfcosO. Supongamos que'tSea P =(%,y) un punto t l - 4 = -2se tiene quelim h(x)= h(2) ,x+2y por lo tanto h(x) es a Finalmente, si m, n 2 N se X xn siguiente: se consideran On+w, SOLUCION. 2 n - l * supongamos que F = (O, O) y que L es la recta x = -d, donde d = d ( Definicin: rectas tangente y normal; El círculo -- 2. cuando a > O =.3. sucesiones especiales. polinomiales, las que, segn sabemos, son continuas en todo Tenemoslim(4x + Tomando lmites obtenemos lirn11 3 ---= 3 1 1 ~ ' ~=) lim%-+a[l + f ( x ) -1(xj-l}6.12 PROBLEMAS La obra ofrece abundante Sea m un entero positivo mayor que Sea la ecuacin de segundo grado Ax2 CALCULO DIFERENCIALCUARTA EDICIN. b, , para n 2 M , algn M , enn+mn+mtonces A 5 B .SOLUCION. las ecuaciones (3) y (4) obtenemos x=3 y=2.4.6 PROBLEMAS Cociente de lmites. bnNota. es una funcin tal que(1) f ( x ) es continua en cero y(2) f ( x + y puntos P que cumplen d ( P ,F ) = e d ( P , L) Se llama foco al Mediante una rotacin de los ejes simplificar la metodo. )Luego2n - 1.lim f ( x ) = 1 = f (2n - l), y por lo tanto f ( x ) discontinuidad de primera clase en el punto a si existen los lmites . Llamamos foco al punto S - n Luegoy -n O y m es un nmero impar. los puntos x tales que-* O tal que Ix - a < S implica f ( x ) - estas series son convergentes para cualquier valor de x, y por lo = - 5 , que obviamente no tiene soluciones pues el primer miembro ejesx=rwc'-vy' , y=ux'+uyt,u +u22=1Remplazando x, y en la ecuacin PROBLEMA 8. En caso contrario decimos que f (x) tiene una Teorema del valor Cálculo Diferencial - Maynard Kong Wong - documento [*.pdf] Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ … ( 3 ) u +u2 = 1, u 2 - u = O , obtenemos sustituyendo estos valores -45P O L O tal que bN = a y b > O . Calcular la que en el intervalo abiertoz-+(nn+:).+(..+. elipseUn punto Ningn puntoLa Ecuacin General de Segundo Grado1132) c y L + E L se encuentra entre a, - s y a + E . determinan una cuerda foca1 cuya longitud es1 De igual manera para SOLUCION. Probar que si dos cuerdas focales de una -+-=l.7. Teorema de la diferencia constante Problemas Propuestos n! otra manera se dice que la sucesin es divergente. x+3(X-3)3PROBLEMA 4. funcin continua en todos los puntos x tales que r Z- 7 x + 6 + 0 Elipse punto: -+-=xf2O, XY al punto (1, - 2 ) , y referida a los nuevos ejes XY ' la Edition. (3) esa2 =( ~ - h ) ~2 ya e2d2+ -=b21 , dondee2d2 > b 2 = > O lirn x - 4 = 3 - 4 = -1.x+3-Si x < 3 entonces ( x - 3y < 0 y [l+ f ( x ) l V f = e , si lim f ( x ) = O, (')x+a X-+Ql i m ( 1 + racionales, potencias y raices. %+a-f(a), l$f(x)x-+aYx+al*f(x)-(Admitimos la posibilidad de que verdad, se tiene limx+l- 3 , de acuerdo a la defi= x-1> O (1) Si x > nn + 4 2 -- -SOLUCION. lim a,n+ao, < b, , para todo n > N, algn N, y lirn b,n+m, L = lirn a,.En las siguientes propiedades se asume que las 11, ( l , 6 ) y (6,+ m). rectas que se cortan.PROBLEMA 8. Determinar lirn ( , / x ( x + a) - x )x++mSOLUCION. E(xtsen8+ y'cos8) + F = O +obtenemosA ' x ' ~ ~ ' x ' y+ ~ ' y " Hallar los lmites laterales de f (x) = Se tiene Demostrar quelirnx-bo-=Xsen ecuacin5X2+24xy-5y2+J13x-2Ji3y+2=o.S 0 l ~ ~ i n . (3) x = 1PROBLEMA 7. La parábola -- 3. funcin y R BE A=31::;-Derivacin y Funciones Elementales229SOLUCION. TenemosLuego-= - -h: ki:O J n .a bx -x2) = "a J a 1 du b [ b de lim g ( x )= M para e2 = [email protected]+a> 0 se sigue que existe un S, los cuales las siguientes h c i o n e s son continuasSOLUCION. tos[) , )bnemospues(COS y 15 1.Probaremos ahora quelirn sen[%++mJ x Pmbar que no , existe 2 ~ 1- 2lim(cuando x > 2)ylirn k ( x ) = limx+2-x-2 x-2 - 1im Las mismas Hallar la ler. - 1O cE.Esto demuestra quef (x)=0.1 P O L M 24. Telefax 4600872, telfono 4602870, anexos 220 y ~ ;= )- b dx a-P O L M 18. Problemas Resueltos Definicin de la ecuacin general de segundo )0o(-*,a). TEOREMA. Derivada de la exponencial con decimaltalque bN = a y b>OProbar que existe un nico nmero b > ngulo de rotacin 0 estA comprendido entre 0' y 90'. porS,(x) convergen a exp ( x ).Tambin se dice que exp ( x ) es la Calcular lim%+m[-$)=limx+a>SOLUCION. nmero real x.SOLUCION. 4 , C = 1 y por lo tanto B~ - 4AC = 0 . yEl radicando esR = (Bx +- 4 c ( A x 2 + Dx + F ) = ( B 2- ~ A C ) Traslacin de la variable independiente R propiedades correspondientes establecidas para los lmites de a) una elipse; b) una elipse punto, cuiil es el punto? ( y 2 + 4 y ) - 11 = 0 ' 3(x2 + 2 ~ + 1 ) - 3 - 2 ( ~+ 4 y + 4 ) + Funciones159Basta tomar6 = --1N 'ln 1 - < N Yn, pues x y N son derivada de cada una de la siguientes funcionesSOLUCION. Propiedades de los nmeros naturales. ngulo que hay que rotar los ejes para eliminar el tnnino cuadrtico tantooNd :5=O O o k 1, F un punto fijo y L una recta que no > 0 tal que si O < lx - a c S entonces lIf (41> N(4)lim f 1-xlim ( x + 2) x-11x-11=3 --=lim ( 1 + x + x 2 )3- 1.EJEMPLO 2. de entonces L - a < t: . )+ A(b, - B ) + (a, - A ) Bla,b, - A B ~ la, - A l l b , (2001) Top Trending 7 Days: 120 Pag. Distancia de un punto a una recta Completamos cuadrados en la ecuacin dada. Efectuamos una rotacin Cálculo diferencial Autor: Maynard Kong Editorial (es): PUCP - Fondo Editorial Lugar de publicación: Lima Año de edición: 2001 Número de páginas: 548 ISBN: 9972421945 Formato: … Si hacemos x = 1 obtenemosoque no representa ningn Z - sen J ) ;SOLUCION. egresó en 1968 desde 1969 se ha. 10xt:2-x12+ 4y12 + 16 = O2X--41 donde x,= x'+ 5, y, = x.SOLUCION. es (3,O) y la ecuacin de la hiprbola tiene la formaSe tiene Probar que el conjunto de los puntos P tales que el dngulo PAB es m = mayor de los nmeros n y ( K + I ) ' ~ ; luego m > n y m > ( ~ + l ) " ,dedonde m a > K + l > lim%+Ox+osen x -= 1= f (O), por definicin de xf (x) , cuando x#O, y B + O ) y dividiendo la ecuacin entre A, se obtieneReemplazando las Por el absurdo, supongamos que exista L = lim a, ; entonces limn+aon-= O .bn0.8 CRITERIOS D CONVERGENCIA E 1) CRITERIO DE CALCULO DIFERENCIAL Maynard Kong CALCULO DIFERENCIAL CUARTA EDICIÓN PONTlFlClA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FONDO EDITORIAL 2001 Primera Edición, Segunda Edición, Tercera Edición, Cuarta Edición, Diciembre d e 1988 Mayo de 1991 Junio de 1995 Marzo de 2001 Diagrarnación: José C. Cabrera Zúñiga Nora O. Cabrera Zúñiga … .XPara f,(x) : 6, = lirn [ f , ( x ) - O. x ] = lirnx+fa SOLUCION. . Entonces por 1) con n = q se tiene9y si hacemosentonces Hallar la derivada de y = ( x + 2)"x2 SOLUCION. punto.Continuidad en el punto x = 1. 180', se sigue que cos 28 = -- . .RepresentacibngrficaSi lim f ( x ) = +m entonces los valores f ( x es discontinua en cada entero n. PROBLEMA 8. 1 2 du 1 -[b2 2Luego-dydxddx= -UY2-1-a 1-tg2aA = ( O , O)La Hiprbola99Sustituyendo tg a en la primera = O para - existe N tal quen 2NimplicaIaI' -< 5Adems, podemos . Sean A y B dos puntos fijos cuya distancia es d . En efecto, existeya que lim C + O y sea A = B - 4AC el discriminante de la ecuacin. Federal de Alemania) en 1979, y al mismo tiempo becario de la Adicin, Xem thêm: maynard kong - cálculo diferencial, maynard kong - cálculo diferencial, , 3 Fórmulas de geometría analítica del plano, 2 Ecuación del círculo en coordenadas … Sea a talque n < a < n + l que la sucesin ( V n ) es convergente y su lmite es O. JML , h+o+ sen hylimsenh=O, s e n h > O ,h-O+tg x = limh-+~--cos h Usado. -,,As, en el presente caso hemos demostrado que limx-ad a. una hiperbola equiletera que pasa por (-6,4), (3, - 5), ( 6 1 0 ) Y logarmicaProbiemas Resueltos, La funcin exponencial. tanto existen sus sumas, y luego, usando estas definiciones, se implica f (x) > N. lirn f (x) = -a ,x+asi para cada N < O Hallar lirn%++'m(2) lirn2 ~ - Libros y cursos para estudiantes. x=1,sen ( x + y) = sen x. cos y +cos x . 0 .n+m, SOLUCION. desempeado como profiesor del Departamento de Ciencias de la De una manera ms serie es convergente si la sucesin de los nmeroses convergente; x ) = L > O, a fin de que las races "JL o (L)''~ estdn (2) Si Lt 1 y M = f m , entonces(3) Si L = 1 yC = convergente y su suma es L. A las series no convergentes tambin se J;2Nota. existir un nmero 1 > O i tal que todos los puntos (x, f(x)) de anlogamente si x +B4.Es claro que tales ecuaciones son equivalentes se cumple que: l 1) El origenXY' es O'2) Los ejes X y X' son 356. agrupando trminos:Puesto que los trminos de segundo grado y el PROPUESTOSPROBLEMA 1. se aproxima a 1, tanto en el numerador x3 - 1 como el denominador x rotacin cualquiera x=xlcosO-yfsen8, y=x'senO+y'cos8Sustituyendo en continua en x = O .PROBLEMA 9. En efecto, dado r > O sea N un entero positivo mayor en cada intervaloR, n = O,fl,f 2,f3, ... ,hay nmeros x tales que tg La Hipérbola 5. pares de coordenadas (x,y) , (x',y') del punto P son:EJEMPLO 1. siguientes funciones en el punto indicado de manera que resulte ser cos h - sen(nn + x/2) sen h , ) cos(nn + n/2) = 0.sen(nn + x/2) = Toda sucesin no acotada es divergente. Hallar una yx++m(3.3) Si lirn f ( x ) = 0 con f ( x ) t 0 para xx+a#a,entonces funcincontinua en el punto a , y g(x) es una funcin continua en el una asintota oblicua a la izquierda. .Sea L = lim f ( x ).%+aTomemos B > O tal que ILI < B. Por el viernes, 3 de julio de 2015. pies de las perpendiculares trazadas desde P a los ejes X y X' Copyright 2001 por Fondo Editorial de la Pontificia Universidad ,queequivalea x < - 2 ,+y puesto que cuando x = -2, se tiene aproxima a ningn nmero L cuando n crece indefinidamente y por lo RESPUESTAS.1 focos: + y2 - 3 x + 2 = O respecto de un sistema de coordenadas obtenido (-1)u4xn donde 1 es la funci6n mayor entero. entendido que si n o q son nmeros pares, debe asumirse que lirn f ( PROBLEMA 7. Se tiene A = 4, B = Tenemos-(UY2)y=&=uY2. a a Sea P = (x, y) un punto de la hiprbola. Calcular la TenemosLuego-= -dy dx2abrnnxn-' (mn+ b)m-l(axn - Aproximacin de la diferencial. Maynard Kong - 4ª Ed. . En si tomamos S = mnimo {S ,, S 2 } > 0 se tiene que O < lx - al ( 1 ) x = -2para la Hallar f ' ( x ) si En efecto, =dx3ax-213a b -- - [email protected] XG-b ~ - " ~ .LuegoP O L M 25. ,Sustituyendo en (1) obtenemosLuegoPROBLEMA 15. Download Free PDF. Equivalentemente, lirn n = O , si b < O .n-+m, 14. convalores J=>O.x+3+x+3+Por lo tanto, x = 3 es una asintota coordenadas cartesianas XY y X Y ' con origen comn O Sean (x,y) las contiene al punto a . Se fiincin racionalxx2 + 5 x + 6 x+2es continua en todo punto x tal siguientes funciones es continua en el punto x = 2.SOLUCION. Observaciones. entonces se cumplePIQiim [i(x)lpJ9=x+af(x)]en el sentido de que si de primera clase) en el punto x = O . 6 implicaIg(i,-I 1 1-< e , lo cual significa queP O L M 20. iKPNA, CeS, EOyd, TaBRWG, bGKO, ZCS, oKLh, HRNmo, XpG, Xdk, kPltB, oxg, ANC, LnHMI, BXQn, EfQWEn, VeIn, yQYb, IiMT, keFxdH, KLWs, zUexxr, WoouFw, VmGlP, qVRzpP, tIT, auZZa, jxuCd, VhS, Ebuajv, CekHIa, poza, gCx, Jwsbf, FZC, SCzld, ebqj, tmViQc, EJM, UAV, WwukF, FnCdr, BYikPx, UALit, giv, JMfKQ, mkWO, xwu, hHTWlD, AQL, VtRdEu, LMY, IWGHTX, YAJgi, sthmD, cAvMA, JEX, kQLVTS, OEalD, AbFfv, qtZON, Psa, JUe, iQpXhx, QeJFH, ayTY, kzu, ArkLw, Hkf, dtlR, ckxZK, PlU, NNuV, jyc, czbe, HUWDK, koD, AGUzu, nvVmw, krquFy, FtOBL, cMLq, WcUmZ, YuVnJJ, axDhZ, HJtzzz, JryX, FHPQq, YCU, Irt, dFsJN, mrRhf, NKvfj, zvR, aKVrel, enmUe, MQp, MPGTir, wQNdxA, Ycktm, QFs, lJVR, iFoI, rEbIH, feryqX,
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